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2019年，王元在辦公室。劉建亞/攝1981年，王元、陳景潤、潘承洞（從左至右）在山東大學(xué)。劉建亞供圖1996年，王元（右）與劉建亞在香港。臧文安/攝70年前，一位年輕的數(shù)學(xué)家，在哥德巴赫猜想這座數(shù)學(xué)高峰上，繼華羅庚之后又留下一個屬于中國人的足跡——證明了命題“3+4”。他就是王元，時年25歲。1955年7月，他將論文《表大偶數(shù)為一個不超過三個素數(shù)的乘積及一個不超過四個素數(shù)乘積的乘積之和》投稿至《數(shù)學(xué)學(xué)報》，次年9月發(fā)表，轟動世界。“元老”是中國數(shù)學(xué)界對中國科學(xué)院院士王元的親切稱呼，一則出于其名，二則因為他是中國數(shù)學(xué)界尤其是數(shù)論方向的先驅(qū)人物。今年是元老證明“3+4”定理70周年。華羅庚與哥德巴赫猜想討論班哥德巴赫猜想以其簡潔的語言預(yù)測了素數(shù)之間的加法關(guān)系，被譽為“數(shù)學(xué)王冠上的明珠”，是數(shù)學(xué)史上最著名且最具挑戰(zhàn)性的問題之一。1742年，哥德巴赫在與歐拉的通信中提出了這一猜想：任何一個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)之和。這一命題看似簡單，卻深刻揭示了素數(shù)分布的規(guī)律性，吸引了無數(shù)數(shù)學(xué)家的關(guān)注。希爾伯特曾將哥德巴赫猜想收入其著名的23個數(shù)學(xué)問題之中，此后哈代、利特伍德、維諾格拉多夫、華羅庚等數(shù)學(xué)大師，都先后對哥德巴赫猜想作出了杰出貢獻。華羅庚曾指出：“哥德巴赫猜想真是美極了，現(xiàn)在還沒有一個方法可以證明它?！?938年，在英國劍橋大學(xué)訪學(xué)期間，華羅庚證明了幾乎所有的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)之和，即哥德巴赫猜想對幾乎所有的偶數(shù)都成立。這一成就使華羅庚成為哥德巴赫猜想研究的世界頂級專家。1953年，華羅庚在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所組織了一個專門研究哥德巴赫猜想的討論班。他以深厚的數(shù)學(xué)造詣和高瞻遠矚的學(xué)術(shù)眼光，為討論班制定了明確的研究方向，并鼓勵年輕人創(chuàng)新。討論班由年輕人輪流主講，王元是主要演講人之一。這個討論班為新中國培養(yǎng)了一代杰出的數(shù)論學(xué)家。華羅庚選擇將哥德巴赫猜想作為討論班的主題，是因為這一猜想與解析數(shù)論中所有的重要方法都有聯(lián)系。通過學(xué)習(xí)研究哥德巴赫猜想，青年學(xué)者能夠掌握解析數(shù)論中最重要的方法。討論班的研究計劃涵蓋了當(dāng)時國際上研究哥德巴赫猜想的最先進方法與成果，包括塞爾伯格篩法、布朗方法、布赫施塔布方法等。華羅庚在討論班上不斷提問，確保每個細節(jié)都被徹底理解。雖然這種教學(xué)方法進展較慢，但參與者受益匪淺。遺憾的是，哥德巴赫猜想討論班1956年被迫中斷，未能完成所有計劃。王元與“3+4”20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家開始嘗試用篩法研究哥德巴赫猜想。簡單來說，篩法就是容斥原理的深化與細化，其核心思想是通過篩掉合數(shù)保留素數(shù)。這種過度簡化的說法，雖然有助于理解篩法的性質(zhì)，但是完全不能傳遞篩法極其復(fù)雜、艱深的一面?；诤Y法的特點，學(xué)習(xí)篩法最好的方法是研讀論文，而非聽講。筆者曾在不同場合強調(diào)：“要想迅速讓對方打消學(xué)習(xí)數(shù)論的念頭，就給他講篩法的證明?！边@句話，雖有調(diào)侃的成分，但確實符合實情。1920年，挪威數(shù)學(xué)家布朗證明了命題“9+9”，這一成果開啟了篩法在哥德巴赫猜想研究中的應(yīng)用。隨后，國際上一批數(shù)學(xué)家不斷改進篩法，逐步降低了命題“a+b”中的素因子個數(shù)。1938年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家布赫施塔布將結(jié)果推進到“5+5”，1940年，他又證明了“4+4”。這些成果為后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ)。在討論班舉辦期間，華羅庚建議王元用篩法改進哥德巴赫猜想的已有結(jié)果，并特別指出塞爾伯格篩法的重要性。通過討論班的學(xué)習(xí)，王元已經(jīng)掌握了布朗的方法，但他沒來得及研究布赫施塔布的方法，討論班就終止了。由于布赫施塔布1938年和1940年的兩篇重要論文是用俄文發(fā)表的，王元一度無法獲取這些資料。后來，他聽說中國科學(xué)院圖書館進口了一批俄文雜志，便立即前往借閱。這批雜志剛到，且尚未編目，便堆放在書庫的地上。王元花了一整天時間，將布赫施塔布的兩篇論文手抄下來。王元發(fā)現(xiàn)，布赫施塔布的方法實際上是篩函數(shù)的一個迭代公式，以恒等式的形式呈現(xiàn)。每迭代一次，篩函數(shù)的上下界估計就會得到改進。布赫施塔布首先用布朗方法計算出篩函數(shù)的上下界，作為初始值，再通過迭代公式逐步改進，從而改進了布朗方法，并于1938年和1940年分別證明了命題“5+5”和“4+4”。王元的思路是，用塞爾伯格篩法得出在各個范圍內(nèi)篩函數(shù)的上界，再用布朗方法估計篩函數(shù)的下界，并結(jié)合布赫施塔布的篩函數(shù)下界估計， 以此作為篩函數(shù)的初始值，反復(fù)用布赫施塔布的方法迭代幾次，最終證明了定理“3+4”。在論文的引言部分，王元表達了對華羅庚的感激之情：“華羅庚教授指出，用塞爾伯格方法結(jié)合布朗-布赫施塔布的方法可以改進上述結(jié)果，本文的目的在于根據(jù)這一指示將上述結(jié)果改進為‘3+4’。”這篇論文受到了極大重視，王元因此獲得了480多元的特等稿費，而當(dāng)時一名大學(xué)畢業(yè)生的月薪僅為50多元。王元回憶說，這筆稿費足以購買一塊歐米茄手表、一件大衣和一套西服。從“3+4”到現(xiàn)在在證明“3+4”之后，王元于1957年又發(fā)表了定理“2+3”的證明。受王元工作的激勵，中國數(shù)學(xué)家繼續(xù)在哥德巴赫猜想的研究上不斷攀登。此后，潘承洞證明了“1+5”，潘承洞與王元各自證明了“1+4”，陳景潤則證明了“1+2”。講述此類故事的相關(guān)文章中最著名的，當(dāng)數(shù)作家徐遲的報告文學(xué)《哥德巴赫猜想》，它影響了中國整整一代人。上世紀(jì)七八十年代，許多青年學(xué)子因為這篇報告文學(xué)而選擇終身投入數(shù)學(xué)研究。一篇報告文學(xué)能有如此大的影響力，這在中國數(shù)學(xué)史乃至世界數(shù)學(xué)史上都是一個奇跡。與廣為人知的“3+4”定理相比，很少有人知道，王元不僅是潘承洞“1+5”論文和陳景潤“1+2”論文的審稿人，還對這兩篇論文給予了大力支持。為了弄清潘承洞“1+5”論文的證明細節(jié)，王元與潘承洞通信60余封。正如中國科學(xué)院院士文蘭后來評價的那樣：“這個故事太美麗動人了……潘承洞、王元都是胸懷坦蕩?！标惥皾櫟摹?+2”證明摘要1966年發(fā)表于《科學(xué)通報》，但由于當(dāng)時中國的科技刊物?？?，“1+2”的證明全文直到1973年《中國科學(xué)》復(fù)刊才得以發(fā)表。在1966年的摘要中，陳景潤最關(guān)鍵的“轉(zhuǎn)換原理”并未出現(xiàn)，因此國外數(shù)學(xué)家普遍認(rèn)為“1+3”仍然是最好的結(jié)果。而王元與閔嗣鶴作為審稿人，是少數(shù)了解陳景潤“轉(zhuǎn)換原理”的人。1996年，元老在香港對我說：“陳景潤的轉(zhuǎn)換原理是證明‘1+2’的關(guān)鍵，我只要看一眼轉(zhuǎn)換原理，就能明白其余應(yīng)該怎么做，用一個星期時間就能自己給出‘1+2’的證明。”以上故事不僅展現(xiàn)了元老高尚的人品和純粹的學(xué)術(shù)追求，也是中國數(shù)論學(xué)派在艱難時期團結(jié)奮斗的生動寫照。元老曾經(jīng)辛勤耕耘的解析數(shù)論領(lǐng)域正在蓬勃發(fā)展，歷久彌新。進入新世紀(jì)以來，篩法與解析方法的綜合應(yīng)用催生了一批重要的研究成果。2013年，華人數(shù)學(xué)家張益唐在孿生素數(shù)猜想研究中取得突破性進展，證明了相鄰素數(shù)的有限差定理，為這一經(jīng)典問題作出了決定性貢獻。此外，塞爾伯格提出的高維篩法在陶哲軒、梅納德等數(shù)學(xué)家的推動下煥發(fā)出新的活力，展現(xiàn)出驚人的潛力。如今，一批中外青年數(shù)學(xué)家正繼續(xù)在這一領(lǐng)域探索，譜寫著解析數(shù)論的絢麗華章。元老的“3+4”定理，是中國學(xué)派用篩法研究哥德巴赫猜想的第一座里程碑，它證明了中國數(shù)學(xué)家有能力在最前沿的數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出世界級的成果。哥德巴赫猜想的研究仍在繼續(xù)，數(shù)學(xué)的高峰依然等待著攀登者。王元的“3+4”定理，將永遠銘刻在中國數(shù)學(xué)發(fā)展的史冊上，激勵著一代又一代中國數(shù)學(xué)人，向著數(shù)學(xué)高峰不斷攀登。溫暖的回憶1996年秋冬之際，我正在香港大學(xué)從事博士后研究，元老受我的合作導(dǎo)師廖明哲教授邀請訪問香港大學(xué)。在港期間，元老時間充裕，我與元老除了在辦公室座談，還經(jīng)常散步交流，既談國內(nèi)研究現(xiàn)狀，又談國際研究潮流。元老對中國解析數(shù)論始終抱有很深的責(zé)任感和危機感。有一次元老很認(rèn)真地對我說：“好的定理應(yīng)該能站得住100年，但能站得住50年的定理就已經(jīng)很少了?！痹献C明的“3+4”定理，歷經(jīng)七十載仍光輝燦爛，其光芒必將穿越百年，也將不斷激勵后輩在通往科學(xué)的高峰上努力拼搏。2021年5月14日，王元先生不幸逝世。時隔4年，謹(jǐn)以此文表達對元老的無限敬仰與懷念。（作者：劉建亞，系山東大學(xué)副校長）（原載于《中國科學(xué)報》?2025-05-22?第4版?人物）